Arxiu d'etiquetes: mecànica newtoniana

abr30

Moviment amb acceleració constant

Posted on by
Moviment amb acceleració constant




El moviment d’una partícula que te acceleració constant es molt corrent a la natura. Per exemple, prop de la superfície de la terra tots els objectes cauen verticalment amb acceleració de la gravetat constant ( sempre que es pugi despreciar la resistència de l’aire ). Si una partícula te una acceleració constant a, la seva acceleració mitja en qualsevol interval de temps es també a. Es a dir:

Si la velocitat es v_0 en el temps t=0 i v al cap de cert temps t, la acceleració corresponent es:

Si reajustem algebraicament aquesta equació obtenim v en funció de t:

Per una acceleració constant, la velocitat varia linealment amb el temps i la velocitat mitja es el valor mig de les velocitats inicial i final. ( Aquesta relació es valida nomes si la acceleració es constant.) Si v_0es la velocitat inicial y v la velocitat final, la velocitat mitja serà:

El desplaçament serà:

Podem eliminar v substituint v=v_{0}+at de la equació v=v_{0}+at

Per tant el desplaçament es:

El terme v_{0}trepresenta el desplaçament que tindria lloc si a fos 0 i el terme \frac{1}{2}at^{2} es el desplaçament addicional degut a la acceleració constant.
Eliminant t de v=v_{0}+at i v_{m}=\frac{1}{2}(v_{0}+v) s’obté una expressió entre \Delta_{x}, a, v i v_0.
De la equació v=v_{0}+at, t=\frac{v-v_{0}}{a} i substituint en v_{m}=\frac{1}{2}(v_{0}+v) obtenim:

es a dir:

Aquesta ultima equació es molt útil, per exemple, si es tracte de determinar la velocitat d’una pilota que s’ha deixat caure des-de certa altura x quan no ens interessa saber el temps de caiguda.

abr30

Acceleració i acceleració instantània

Posted on by
Acceleració i acceleració instantània


L’acceleració es la tasa de canvi de la velocitat instantània. Quan, per exemple, un conductor prem el pedal del accelerador del seu cotxe, espera cambiar la velocitat. L’acceleració mitja en un interval particular de temps \Delta_{t}=t_{2}-t_{1}, es defineix com el cocient entre  \frac{\Delta_{v}}{\Delta_{t}} on \Delta_{v}=v_{2}-v_{1}. Es a dir:

a_{m}=\frac{\Delta_{v}}{\Delta_{t}}

L’acceleració te les dimensions de una longitud dividida pel temps al quadrat. La unitat del Sistema internacional es m/s^{2}. Podem escriure la equació  a_{m}=\frac{\Delta_{v}}{\Delta_{t}} com \Delta_{v}=a_{m}\Delta_{t}. Per exemple, si decidim que una partícula te una acceleració de 5,1m/s^{2}, vol dir que, si parteix del repòs, desprès de 1 s es mourà a una velocitat de 5,1m/s, desprès de 2 s, ho farà amb una velocitat de 10,2m/s i aixi successivament.
L’acceleració instantània es el limit del quocient  \frac{\Delta_{v}}{\Delta_{t}}quan \Delta_{t} tendeix a 0. Si representem la velocitat en funció del temps, l’acceleració instantània en el temps t es defineix com la pendent de la línia tangent a la corba d’aquell temps:

L’acceleració es, per tant, la derivada de la velocitat vectorial respecte el temps \frac{dv}{dt}. Com la velocitat es també la derivada de la posició x respecte a t, l’acceleració es la segona derivada de x respecte t, \frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Aixo es pot veure escrivint l’acceleració com \frac{dv}{dt} i substituint v per \frac{dx}{dt}.

Si l’acceleració es 0, no hi ha canvi de velocitat amb el temps, es a dir, la velocitat es constant. En aquest cas, la corba de x en funció de t es una línia recta. Si l’acceleració no es nul.la, però es constant, la velocitat varia linealment amb el temps i la corba de x en funció de t es quadràtica amb el temps.