L’arbre de les matemàtiques

Simplement matemàtiques

Hi ha una opinió molt generalitzada segons la qual la matemàtica és la ciència més difícil quan en realitat és la més simple de totes. La causa d’aquesta paradoxa rau en el fet que, precisament per la seva simplicitat, els raonaments matemàtics equivocats queden a la vista. En una complexa qüestió de política o art, hi ha tants factors en joc i tant desconeguts o inaparents, que és molt difícil distingir la veritat de la falsedat. El resultat és que qualsevol ximple es creu en condicions de discutir sobre política i art -i en veritat ho fa- mentre que mira la matemàtica des d’una respectuosa distància.

Ernesto Sábato en Un i l’univers.

L’equació de Batman

Per a què serveixen les matemàtiques

Font: Francis (th)E mule news

Peter Rowlett ens presenta en Nature set exemples que demostren que el treball teòric dels matemàtics pot conduir a aplicacions pràctiques inesperades. Molts científics i enginyers descobreixen que les eines matemàtiques que necessiten ser desenvolupades fa molts anys, fins i tot fa segles, per matemàtics que no tenien en ment cap aplicació pràctica concreta. La vida de les eines matemàtiques, si no tenen errors, és eterna, una vegada que la comunitat de matemàtics està satisfeta amb una solució a cert problema matemàtic, per aquesta solució no passen els anys. No obstant això, amb la crisi econòmica ha crescut l’interès a buscar aplicacions als desenvolupaments matemàtics en la seva etapa germinal, quan encara són meres idees abstractes. El problema és que per a un matemàtic predir per a què poden servir les seves idees ratlla l’impossible. No es poden forçar les coses i algunes aplicacions de les matemàtiques actuals apareixeran dins de dècades o fins i tot segles. Per il.lustrar, Peter Rowlett ens presenta els següent set exemples en “ The unplanned impact of mathematics , “Nature 475: 166-169, 14 July 2011. La Societat Britànica per a la Història de les Matemàtiques té oberta una convocatòria per tal de recopilar més exemples, si coneixes algun pots enviar-seguint aquest enllaç “ The British Society for the History of Mathematics . “

Mark McCartney & Tony Mann: “Dels cuaterniones a Lara Croft”

La història de com va descobrir els cuaterniones  el matemàtic irlandès William Rowan Hamilton (1805-1865) el 16 octubre 1843 mentre estava caminant sobre el Pont de “Broome” a Dublín és molt coneguda. Hamilton havia estat buscant una manera d’estendre el sistema de nombres complexos a tres dimensions de manera que permetés descriure les rotacions tridimensionals respecte a un eix arbitrari com els nombres complexos descriuen les rotacions bidimensionals. La seva idea feliç ara ens resulta gairebé òbvia, no era possible fer-ho amb ternes de nombres, les rotacions tridimensionals requereixen un sistema de nombres amb quatre components imaginàries. Si els nombres complexos són de la forma  a + ib, on a i b són nombres reals, i i és l’arrel quadrada de -1, llavors els quaternions han de tenir la forma  a + bi + cj + dk , on les unitats imaginàries compleixen  i ² = j ² = k ² = ijk = -1.

Hamilton va passar la resta de la seva vida tractant de convèncer a tota la comunitat de matemàtics que els cuaterniones eren una solució elegant a múltiples problemes en geometria, mecànica i òptica. Després de la seva mort, va passar el testimoni a Peter Guthrie Tait (1831-1901), professor de la Universitat d’Edimburg. William Thomson (Lord Kelvin) va passar més de 38 anys discutint amb Tait sobre la utilitat real dels quaternions. Kelvin preferia el càlcul vectorial, que a finals del segle XIX va eclipsar als quaternions i els matemàtics del segle XX, en general, consideren els quaternions com una bella construcció matemàtica sense cap utilitat pràctica. Així va ser fins que per sorpresa, el 1985, l’informàtic Ken Shoemaker va presentar la idea d’interpolar rotacions usant quaternions en el congrés de gràfics per computador més important del món (l’ACM SIGGRAPH). Interpolar matrius preservant l’ortogonalitat de les matrius de rotació és molt molest i utilitzar els angulos d’Euler ajuda poc. Les tècniques convencionals d’interpolació per nombre reals s’estenen de forma natural als nombres complexos i als quaternions. Interpolacions suaus i ràpides de calcular que des de llavors s’utilitzen en tots els jocs per ordinador que presenten gràfics tridimensionals. En l’actualitat, els cuaterniones són imprescindibles en robòtica i en visió per ordinador, a més de gràfics per ordinador. Al final del segle XX, la guerra entre Kelvin i Tait va ser guanyada per aquest últim. Hamilton va veure complert el seu somni en la indústria dels videojocs, 150 després del seu descobriment, una indústria que mou més diners al món que la indústria del cinema (més de 100 mil milions de dòlars el 2010).

Graham Hoare: “De la geometria a la gran explosió”

El 1907, Albert Einstein va formular el principi d’equivalència, un pas clau per al desenvolupament de la teoria general de la relativitat. La seva idea és simple en extrem, que els efectes d’una acceleració són indistingibles dels efectes d’un camp gravitatori uniforme, o dit d’una altra manera, que la massa com “càrrega” gravitatòria i la massa inercial són equivalents. Aquesta idea va portar a Einstein a concebre la gravetat com una curvatura de l’espaitemps. El 1915 va publicar les equacions de la seva teoria general que indiquen com la matèria corba l’espaitemps circumdant. Les matemàtiques que va utilitzar tenen el seu origen a mitjans del segle anterior. Bernhard Riemann va introduir els fonaments de la geometria diferencial en 1854, en la defensa de la seva tesi d’habilitació (una mena de tesi doctoral que era requisit per impartir classes a la universitat). Va introduir la geometria diferencial d’espais (hipersuperfícies) de n dimensions, anomenades varietats, i les nocions de mètrica i curvatura. En els 1870, Bruno Christoffel estendre les idees de Riemann i va introduir les connexions afins i el concepte de transport paral.lel. El càlcul diferencial en varietats (o càlcul tensorial) va arribar altes cotes d’abstracció amb els treballs de Gregorio Ricci-Curbastro i la seva estudiant Tullio Levi-Civita (entre 1880 i els inicis del s. XX). Però aquestes idees tan abstractes no tenien cap aplicació pràctica fins que Albert Einstein el 1912, amb l’ajuda del seu amic matemàtic Marcel Grossman va decidir utilitzar aquest càlcul tensorial per articular la seva profunda visió física sobre l’espaitemps. Gràcies a les varietats de Riemann en quatre dimensions (tres per l’espai i una per el temps), Einstein va revolucionar les nostres idees sobre la gravetat i sobre l’evolució de l’univers. Les equacions d’Einstein no tenien cap solució estàtica, de manera que Einstein va introduir el 1917 una terme addicional, la constant cosmològica a fi de compensar l’expansió natural de l’univers. Després dels treballs teòrics d’altres físics, com Alexander Friedmann el 1922, i els resultats experimentals d’Edwin Hubble, Einstein va decidir el 1931 eliminar la constant cosmològica i qualificar la seva inclusió com “el major error de la seva vida.” Avui en dia, després de la gran sorpresa de 1998, el concepte d’energia fosca ha reintroduït la constant cosmològica.

Edmund Harris: “De les taronges als mòdems”

El 1998, de sobte, les matemàtiques van ser notícia en tots els mitjans. Thomas Hales (Universitat de Pittsburgh, Pennsylvania) havia demostrat la conjectura de Kepler, que afirma que la millor forma d’apilar taronges en una caixa és la utilitzada en totes les fruiteries (l’empaquetament d’esferes més eficient possible).Un problema que havia estat obert des de 1611, quan ho va proposar Johannes Kepler. En alguns mitjans de premsa i TV es va arribar a dir “crec que és una pèrdua de temps i diners dels contribuents.” Avui en dia, les matemàtiques de l’empaquetament d’esferes s’utilitzen en enginyeria de comunicacions i teoria de la informació i de la codificació per planificar canals de comunicació i per desenvolupar codis correctors d’errors.El problema de Kepler va ser molt més difícil de demostrar del que Kepler mai va poder imaginar. De fet, el problema més senzill sobre la millor forma d’empaquetar cercles plans va ser demostrat en 1940 per László Fejes Tóth.

Un altre problema senzill la solució va costar molts anys va ser el problema de les esferes que es besen , plantejat al segle XVII per Isaac Newton i David Gregory: Donada una esfera, quantes esferes iguals que aquesta poden col.locar amb la condició que toquin a la inicial? En dues dimensions és fàcil demostrar que la resposta és 6. Newton pensava que 12 era el nombre màxim en 3 dimensions. Ho és, però la demostració va haver d’esperar al treball de Kurt Schütte i Bartel van der Waerden el 1953. Oleg musinosa va demostrar el 2003 que el nombre de petons en 4 dimensions és 24. En cinc dimensions només se sap que es troba entre 40 i 44. Sabem la resposta en vuit dimensions, que és 240, com va demostrar Andrew Odlyzko el 1979. Encara més, en 24 dimensions la resposta és 196.560. Aquestes demostracions són més senzilles que la del resultat en tres dimensions i utilitzen empaquetament d’esferes molt més complicats i increïblement densos, la xarxa E8 en 8 dimensions i la xarxa de Leech en 24 dimensions.

Tot això és molt bonic, però serveix per a alguna cosa? A la dècada de 1960, un enginyer anomenat Gordon Lang va dissenyar els sistemes de comunicació per mòdem utilitzant aquests empaquetaments d’esferes multidimensionals. El problema de la comunicació analògica en una línia telefònica és el soroll. En una conversa entre dues persones el llenguatge natural és tan redundant que el soroll importa poc, però per enviar dades cal introduir certes redundàncies i utilitzar tècniques correctores d’error, el que redueix l’ample de banda del canal (la quantitat d’informació que es pot transmetre per segon). Lang va utilitzar els empaquetaments d’esferes per lluitar amb el soroll i augmentar al màxim l’ample de banda. Va utilitzar una codificació basada en l’empaquetat E8 (més tard també es va utilitzar el de Leech). A la dècada dels 1970, el treball de Lang va ser clau per al desenvolupament primerenc de la internet. Donald Coxeter, matemàtic que va ajudar a Lang en el seu treball, va dir que estava “horroritzat que els seus belles teories haguessin estat tacades d’aquesta manera per les aplicacions.”

Joan Parrondo i Noel-Ann Bradshaw: “D’una paradoxa a les pandèmies”

El 1992, dos físics van proposar un dispositiu simple per convertir les fluctuacions tèrmiques a nivell molecular en un moviment dirigit: un motor brownià ( Brownie ratchet ) basat en alternar l’encesa i l’apagat de cert camp. El 1996, l’essència matemàtica d’aquest fenomen va ser capturada en el llenguatge de la teoria de jocs per la paradoxa de Parrondo. Un jugador alterna dos jocs, en ambdós jocs per separat l’esperança a llarg termini implica perdre, però, alternar ambdós jocs permet aconseguir a llarg termini una victòria. En general, s’utilitza el terme “efecte de Parrondo” per descriure el resultat dues proves que combinades aconsegueixen un resultat diferent al de les proves individuals. L ‘”efecte Parrondo” té moltes aplicacions, com en el control de sistemes caòtics ja que permet que la combinació de dos sistemes caòtics condueixi a un comportament no caòtic. També pot ser utilitzat per modelar en dinàmica de poblacions l’aparició de brots de malalties víriques o en economia per predir els riscos de certes inversions en borsa.

Peter Rowlett: “Dels jugadors a les asseguradores”

Al segle XVI, Girolamo Cardano va ser un matemàtic i un jugador compulsiu. Per desgràcia per a ell, va perdre en el joc la major part dels diners que havia heretat. Per fortuna per a la ciència va escriure el que es considera el primer treball en teoria de la probabilitat moderna, “Liber de ludo alea , “que va acabar publicat en 1663. Un segle després, un altre jugador, Chevalier de Mere, tenia un truc que semblava molt raonable per guanyar als daus a llarg termini, però va perdre tots els seus diners. Consultar al seu amic Blaise Pascal buscant una explicació.Pascal va escriure a Pierre de Fermat en 1654. La correspondència entre ells va establir les bases de la teoria de la probabilitat. Christiaan Huygens va estudiar aquests resultats i va escriure la primera obra publicada sobre probabilitat, “Ratiociniis De Ludo Alea” (publicada en 1657).

Al segle XVII, Jakob Bernoulli va reconèixer que la teoria de la probabilitat podria aplicar molt més enllà dels jocs d’atzar. Va escriure “ Ars Conjectandi “ (publicat després de la seva mort en 1713), que va consolidar i va ampliar el treball en probabilitat de Cardano, Fermat, Huygens i Pascal. Bernoulli va provar la llei de grans nombres, que diu que com més gran sigui la mostra, més s’assemblarà el resultat mostral de la població original. Les companyies d’assegurances han de limitar el nombre de pòlisses que venen. Cada pòlissa venuda implica un risc addicional i l’efecte acumulat podria arruïnar l’empresa. A partir del segle XVIII, les empreses d’assegurances van començar a utilitzar la teoria de probabilitats per a les seves polítiques de vendes i per decidir els preus de les assegurances per tal de garantir beneficis a llarg termini. La llei de Bernoulli dels grans nombres és clau per seleccionar la mida de les mostres que permeten realitzar prediccions fiables.

Julia Collins: “Des d’un pont fins l’ADN”

Leonhard Euler va inventar una nova branca de les matemàtiques quan va demostrar el 1735 que no es podien travessar els set ponts de Königsberg en un sol viatge sense repetir cap pont. El 1847, Johann Benedict Listing va encunyar el terme “topologia” per descriure aquest nou camp. Durant els següents 150 anys els matemàtics van treballar en topologia perquè suposava un gran desafiament intel.lectual, sense cap expectativa que hagi de ser útil. Després de tot, en la vida real, la forma és molt important (ningú confon una tassa de cafè amb un dònut). A qui li preocupen els forats de 5 dimensions en un espai de 11 dimensions? Fins i tot branques de la topologia en aparença molt pràctiques, com la teoria de nusos, que va tenir el seu origen en els primers intents per comprendre l’estructura dels àtoms, es va pensar que eren inútils durant la major part dels XIX i XX.

Però en la dècada de 1990, les aplicacions pràctiques de la topologia van començar a aparèixer. Lentament al principi, però guanyant impuls fins que ara sembla que hi ha poques àrees de la ciència en què la topologia no s’utilitzi. Els biòlegs utilitzen la teoria de nusos per comprendre l’estructura de l’ADN. Els enginyers en robòtica utilitzen la teoria per planificar les trajectòria de els robots mòbils. Les bandes de Möbius s’utilitzen per obtenir cintes transportadores més eficients. Els metges utilitzen la teoria de l’homologia per fer escanejos cerebrals i els cosmòlegs les fan servir per comprendre com es formen les galàxies. Les empreses de telefonia mòbil utilitzen la topologia per identificar els llocs on no hi ha cobertura de la xarxa. I fins i tot en computació quàntica s’estan utilitzant fils trenats per construir ordinadors quàntics robustos. La topologia permet usar els mateixos teoremes per resoldre problemes molt diversos, des de l’ADN als sistemes de GPS (Sistemes de Posicionament Global). Hi ha alguna aplicació pràctica on no s’utilitzi la topologia?

Chris Linton: “Des de les cordes a l’energia nuclear”

Les sèries de funcions sinus i cosinus van ser utilitzades per Leonard Euler i altres en el segle XVIII per estudiar la dinàmica de les vibracions de cordes i per estudiar els moviments dels cossos en mecànica celeste. Joseph Fourier, a principis del segle XIX, va reconèixer la gran utilitat pràctica d’aquestes sèries per estudiar la conducció de la calor i va començar a desenvolupar una teoria general de les mateixes. A partir de llavors, les sèries de Fourier s’utilitzen per arreu, des de l’acústica o l’òptica, fins als circuits elèctrics. En l’actualitat, els mètodes de Fourier són a la base de gran part de la ciència i de l’enginyeria modernes, especialment de les tècniques computacionals.

No obstant això, les matemàtiques de principis del segle XIX eren inadequades per al desenvolupament rigorós de les idees de Fourier i van aparèixer gran nombre de problemes de caràcter tècnic que van desafiar a moltes de les grans ments de l’època. Va costar molt desenvolupar noves tècniques matemàtiques per poder resoldre aquestes dificultats. A la dècada de 1830, Gustav Lejeune Dirichlet va obtenir la primera definició clara i útil del concepte de funció. Bernhard Riemann en la dècada de 1850 i Henri Lebesgue en la dècada de 1900 van obtenir nocions rigoroses de la integració de funcions. La convergència de sèries infinites resultar molt relliscosa al principi, però es va aconseguir dominar gràcies a Augustin-Louis Cauchy ja Karl Weierstrass, que van treballar en la dècades de 1820 i 1850, respectivament. A la dècada de 1870, els primers passos de Georg Cantor cap a una teoria abstracta dels conjunts es van iniciar amb l’anàlisi de les diferències entre funcions que no són iguals però les sèries de Fourier són idèntiques.

En la primera dècada del segle XX, el concepte d’espai de Hilbert va ser clau per entendre les propietats de les sèries de Fourier. El matemàtic alemany David Hilbert i els seus companys van definir aquests espais de forma axiomàtica, una cosa que semblava molt allunyat de les aplicacions pràctiques. No obstant això, en la dècada de 1920, Hermann Weyl, Paul Dirac i John von Neumann reconèixer que aquest concepte era la pedra angular de la mecànica quàntica, ja que els estats possibles d’un sistema quàntic són elements de certa classe d’espais de Hilbert. La mecànica quàntica és la teoria científica més exitosa de tots els temps. Sense ella, gran part de la nostra tecnologia moderna (el làser, els ordinadors, els televisors de pantalla plana, l’energia nuclear, etc.) No existiria. Qui podia imaginar que problemes matemàtics abstractes relacionats amb les propietats matemàtiques de les sèries de Fourier acabarien revolucionant la ciència i l’enginyeria del segle XX, i acabarien conduint a l’energia nuclear.

 

 

 

 

 

 

 

Paradoxes i Martin Gardner

Igual que els bons trucs, les paradoxes ens causen tanta sorpresa que immediatament volem saber com s’han fet. Els il.lusionistes no revelen mai com fan el que fan, però els matemàtics no tenen necessitat de guardar el secret.
Martin Gardner (21/10/1914-22/05/2010)

Aquesta entrada està extreta del llibre Aja! Paradoxes del recentment mort Martin Gardner i s’emmarca dins del grup de Paradoxes numèriques, aquesta entrada va ser una de les que més em va cridar l’atenció quan vaig llegir per primera vegada aquest llibre ( molt recomanable ). Quina millor manera de retre homenatge a aquest gran matemàtic que recordar-lo amb les seves pròpies paraules:

“Un dia apareixen a la Terra uns extraterrestres que l’únic que volen és el mer coneixement humà. Es posen en contacte amb els grans científics de la humanitat i els demanen dades científiques, històriques, filosòfiques … en fi, tot el que puguem aportar. Els científics, reunits, es plantegen donar-los un exemplar de cada un dels llibres escrits que hi ha. Fins i tot s’arriban a plantejar donar-los una còpia impresa de la Viquipèdia. Però clar, això de que el saber no ocupa lloc no és del tot exacte. Pel que ràpidament rebutjen la idea. Passant per alt els temes de compatibilitat, arriben a la conclusió que en comptes de còpies escrites, potser estiguin interessats en versions electròniques de tot el saber. De sobte s’adonen que encara no s’han inventat sufixos per parlar de tal volum d’informació, així que no diguem de suports. Una altra idea rebutjada. Els nostres científics van capcots davant els nouvinguts i els diuen que hauran de conformar-se amb una ínfima part de les dades. Els visitants es miren sorprèsos i demanen que els donin simplement les còpies escrites de tota la saviesa humana i que ells s’encarregaran de codificar-ho, segons un codi meravellós, en una simple vara de metall i fent només una osca en ella. Els científics es posen a murmurar i els demanen que els expliquessin tan sorprenent procés. Els extraterrestres diuen el següent:

Suposem que cada un dels símbols que utilitzeu per escriure, els codifiquem amb un nombre de 3 xifres. Així per exemple, la A es codificaria per 001, la B per 002, la Z per 027, i encara podríem codificar els signes de puntuació i fins i tot l’espaiat entre dues paraules. D’aquesta manera, la paraula GAT es codificaria per 007001021016. Igualment, podríem codificar diverses paraules (amb o sense espais), frases completes (amb els seus signes de puntuació), paràgrafs, llibres sencers … i tot el saber humà.

Mitjançant aquest codi meravellós, els extraterrestres poden codificar tot el saber escrit humà en un gegantí nombre que, anteposant un 0 i una COMA (0, xxxxx ….) el van converteixen en un magnífic i gegantí nombre decimal. Despres prenen la vara de metall i van fan una osca que la divideix en dues parts de manera que el quocient entre la longitud menor i la longitud major es, exactament, el núemro decimal que ham obtingut. D’aquesta manera, de tornada al seu planeta d’origen, mesuraran ambdues parts de la vara, faran el quocient i el nombre resultant el decodificaran segons les regles que ja sabem.

Bé, deixem ja la Ciència Ficció a un costat. Tot aquest procés, en TEORIA, és perfectaemnte vàlid amb els coneixements actuals, però resulta impossible de dur a la pràctica. En primer lloc, podem pensar que una simple frase de 10 paraules, suposarien no menys de 50 caràcters, que es traduirien en uns 150 decimals. Podeu imaginar-vos semblant nombre? Ara mireu de fer una marca en una vara de manera que el quocient de les longituds sigui, exactament aquest nombre de 150 decimals. Ja cal que sigeum precísos a l’hora de fer la marca !!! Però el problema definitiu ve en tractar de descodificar la marca. En cadascuna de les mesures, pot (de fet hi haurà) errors de mesurament, la qual cosa, a l’hora de fer el quocient, pot provocar terribles errors d’arrodoniment, la qual cosa trasbalsada el missatge final.

És que fins i tot la marca que es faci en la vara de metall tindrà longitud, de manera que aquí tindrem encara més errors.”

En fi, que una cosa són les capacitats teòriques i una altra la realitat pràctica.

I 140 anys despres, solucionen l’equació de Boltzmann

Dos matemàtics de la Universitat de Pennsylvania han aconseguit trobar una solució a l’equació de Boltzmann, un intricat problema creat per un físic austríac del segle XIX que ningú havia aconseguit resoldre durant 140 anys. El seu descobriment és una d’aquelles gestes teòriques que causen sensació i desperten la curiositat, encara que realment hi ha molt poques persones al món que son capaces d’entendre realment en què consisteix la troballa ni molt menys per què serveix. Demostrar l’existència i unicitat de solucions d’una equació en derivades parcials no lineal no és fàcil, però és un dels èxits més perseguits per molts analistes (matemàtics que es dediquen a l’anàlisi matemàtic). Per a les equacions més famoses, àmpliament usades en física, aquest tipus de demostració copa titulars en premsa i comporta premis i fama. No obstant això, per a la majoria dels físics que fan servir aquestes equacions, aquest tipus de demostracions té poc valor i aporten molt poc en la pràctica. L’equació dels gasos diluïts introduïda per Boltzmann el 1872 és una d’aquestes equacions. Boltzmann ” va demostrar” de forma no rigorosa l’existència de solucions. Per als físics és suficient, però per als matemàtics la seva demostració no tenia cap valor ja que ningú habia sabut obtenir una versió rigorosa dels seus arguments que convertis la seva “idea de demostració” en una demostració de veritat. El problema no era fàcil.
L’equació de Boltzman és clau en la teoria cinètica dels gasos. Descriu com un gas evoluciona cap a un estat d’equilibri. Aquesta és la teoria, però calia demostrar. I Philip T. Gressman i Robert M. Strain semblen haver-ho aconseguit. Utilitzant modernes tècniques matemàtiques en el camp de les equacions diferencials parcials i anàlisi harmònic, els científics van demostrar l’equació. El seu treball es publica a la revista Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS).
Ludwig Boltzmann va ser un pioner de la mecànica estadística i la seva constant és un concepte fonamental de la termodinàmica. Nascut a Viena el 1844, es va penjar el 1906. Encara que el motiu del suïcidi no ha estat aclarit, va poder haver estat provocat pel profund malestar que sentia després de ser rebutjada la seva tesi sobe l’àtom i les molècules per la comunitat científica de l’època. Almenys, des de l’altre món, podrà sentir que, ara, algú ha netejat el seu honor.

Sincronismes i matemàtiques per les vaques

Doncs no, no es una broma. L’ecologia matemàtica estudia models de les interaccions entre éssers vius en un entorn. La tradició dicta que les explotacions agrícoles i ramaderes no utilitzen models matemàtics per definir les seves estratègies. En altres indústries es porta fent amb èxit des de fa temps. Si no m’equivoco en uns anys parlarem de matemàtica agropecuària com una branca de la matemàtica industrial. Tot això ve a col.lació perquè a terme de veure un article de Jie Sun et al. en el qual ens presenten un model matemàtic de les activitats diàries d’una vaca (menjar, descansar i rumiar de peu) en termes d’un sistema dinàmic afí a trossos. Cada vaca es comporta com un oscil lador i Sun et al. l’estudien utilitzant la teoria de bifurcacions (punts fixos i òrbites periòdiques). El model permet considerar múltiples vaques en interacció mútua, un ramat, modelat com una xarxa d’oscil • ladors en interacció. La cooperació i la sincronització entre les vaques és de gran interès en una explotació ramadera i Sun et al. estudien diversos règims de paràmetres en què aquestes dinàmiques es reforcen. El nombre de possibilitats creix exponencialment, de manera que l’estudi es limita a fregar la superfície. Els autors prometen futures incursions en aquest camp amb èmfasi en les possibles estratègies d’explotació ramadera així com la inclusió de dinàmiques espaciotemporals en el model. Caldrà estar al tant. Els interessats en dinàmica no lineal, oscil ladors en sincronització i ecologia matemàtiques segurament gaudiran de l’article de Jie Sun, Erik M. Bollt, Mason A. Porter, Marian S. Dawkins, “A Mathematical Model for the Dynamics and Synchronization of Cows,” ArXiv, 9 May 2010.

Fotografia matemàtica: Nikki Graziano

Nikki Graziano estudia matemàtiques i fotografia a l’Institut de tecnologia de Rochester i ha trobat una manera de reunir els seus dos interessos en una sèrie d’imatges anomenada Found Functions, en què superposa gràfiques generades mitjançant fórmules matemàtiques a fotografies preses per ella.

Però segons sembla no busca imatges que puguin adaptar-se a certes fórmules, sinó que quan té una fotografia que li agrada és quan busca i ajusta la fórmula necessària per generar la gràfica que se li adapti.

Equació de Drake i vida extraterrestre

Hi ha vida extraterrestre?
Per tal de contestar aquesta pregunta, el radioastronom Frank Drake va idear una equació amb el propòsit de intentar estimar la quantitat de civilitzacions amb possibilitats de conèixer la manera d’emetre i rebre emissions de radio detectables. L’equació, que va ser ideada l’any 1961, identifica els factors específics que, es creu, tenen un paper important en el desenvolupament de les civilitzacions. Tot i que en l’actualitat no hi han dades suficients per resoldre la equació, la comunitat científica ha acceptat la importància com a primera aproximació teòrica al problema, i diferents científics l’han utilitzat com a base per a plantejar diferents hipòtesis.
Pensem que el nostre sol es nomes una estrella de les estrelles observables del nostre univers i la via lactea es nomes una de les 500.000.000.000 galàxies del univers. Aixi doncs, a primera vista, sembla que hi ha d’haver molta vida extraterrestre !!! Però… no. Ara veurem el per que.

L’equació de Drake diu:

On N representa el nombre de civilitzacions que es podrien comunicar a la nostra galàxia.

Ara analitzem els factors que formen l’equació:

• es el ritme anual de formació d’estrelles “adequades” a la galàxia per tenir vida al seu sistema solar.

• es la fracció d’estrelles que tenen planetes en orbita.

• es la fracció d’aquests planetes orbitant dins la “ecosfera” ( es a dir, en una orbita suficientment allunyada de l’estrella per no ser massa calent, i suficientment aprop com per no ser massa fred per albergar vida ) de l’estrella.

• es la fracció de planetes dins la ecosfera que han desenvolupat vida.

• es la fracció de planetes dins la ecosfera amb vida, que han desenvolupat vida intel.ligent.

• es la fracció de planetes dins la ecosfera amb vida intel.ligent, que ha desenvolupat una civilització capaç de crear tecnologia e intenta comunicar-se.

• es el lapusus de temps, mesurat en anys, durant el qual una civilització intel.ligent i comunicativa pot existir.

Amb aquest paràmetres, Drake, va fer una estimació inicial del possible nombre de civilitzacions intel·ligents que poden haver a la via lactea. Ho va fer assignant els següents valors a cada paràmetre ( cal dir, que el resultat es sorprenent. ):

•   ( 10 estrelles es formades per any )

• ( la meitat d’aquestes estrelles tenen planetes orbitant )

• ( cada una de les estrelles amb planetes te 2 planetes orbitant )

• ( el 100% d’aquests planetes poden desenvolupar vida )

• ( nomes el 1% desenvoluparia vida inteligent )

• ( nomes el 1% d’aquesta vida inteligent es podria comunicar )

• ( cada civilització perduraría 10.000 anys transmatent missatges )

Ara apliquem els valors a la equació:

Doncs si, nomes 10 possibles civilitzacions detectables en 500.000.000.000 galàxies.

No cal dir, que tant l’equació com el resultat donat per Drake va ser causa d’un munt de controvèrsies i discussions dins la comunitat científica.
Degut a la falta d’evidències i al avanç de la tecnologia, avui en dia els paràmetres han anat variant.
La Nasa i l’Agencia espacial europea, han detectat que el nombre de producció d’estrelles adequades per al desenvolupament de vida es de 7 per any. Tenint en compte que les estrelles aptes per a la vida son les de tipus K y G, i que el 12,1% son del tipus K i 7,6% son del tipus G, llavors nomes el 19,7% d’aquestes 7 estrelles son “apropiades” per al desenvolupament de vida intel.ligent. Aixo encara redueix mes les possibilitats de contactar amb vida intel.ligent.
Aixi doncs, encara que l’univers conegut sembla immens, les possibilitats de trobar altre vida intel.ligent son molt escasses. Sent aixi, si hi hagués alguna civilització que ens visites, dubt-ho molt que es dediques a abduir grangers de wisconsin per fer-los exploracions amb sondes anals !!!

El planeta pla

Es tracta d’un curiós exercici geomètric que, a la meva manera de veure, ens intenta mostrar què passaria si ens trobem amb una quarta dimensió. Però com això és certament complicat, és millor centrar-nos al cas que ens presenta el vídeo: què passa quan un ésser tridimensional es topa amb un planeta bidimensional.