Arxiu de la categoria: Mecànica newtoniana

abr30

Moviment amb acceleració constant

Posted on 30 abril 2010 by francescserrat

El moviment d’una partícula que te acceleració constant es molt corrent a la natura. Per exemple, prop de la superfície de la terra tots els objectes cauen verticalment amb acceleració de la gravetat constant ( sempre que es pugi despreciar la resistència de l’aire ). Si una partícula te una acceleració constant a, la seva acceleració mitja en qualsevol interval de temps es també a. Es a dir:

$a_{m}=\frac{\Delta_{v}}{\Delta_{t}}$

Si la velocitat es $v_0$ en el temps t=0 i v al cap de cert temps t, la acceleració corresponent es:

$a=\frac{\Delta_{v}}{\Delta_{t}}=\frac{v-v_0}{t-0}=\frac{v-v_0}{t}$

Si reajustem algebraicament aquesta equació obtenim v en funció de t:

$v=v_{0}+at$

Per una acceleració constant, la velocitat varia linealment amb el temps i la velocitat mitja es el valor mig de les velocitats inicial i final. ( Aquesta relació es valida nomes si la acceleració es constant.) Si $v_0$ es la velocitat inicial y v la velocitat final, la velocitat mitja serà:

$v_{m}=\frac{1}{2}(v_{0}+v)$

El desplaçament serà:

$\Delta_{x}=x-x_{0}=v_{m}t=\frac{1}{2}(v_{0}+v)t$

Podem eliminar v substituint $v=v_{0}+at$ de la equació $v=v_{0}+at$

$\Delta_{x}=\frac{1}{2}(v_{0}+v)t=\frac{1}{2}(v_{0}+v_{0}at)t=v_{0}t+\frac{1}{2}at^2$

Per tant el desplaçament es:

$\Delta_{x}=x-x_{0}$ $=v_{0}t+\frac{1}{2}at^2$

El terme $v_{0}t$ representa el desplaçament que tindria lloc si a fos 0 i el terme $\frac{1}{2}at^{2}$ es el desplaçament addicional degut a la acceleració constant.
Eliminant t de $v=v_{0}+at$ i $v_{m}=\frac{1}{2}(v_{0}+v)$ s’obté una expressió entre $\Delta_{x}$ , a, v i $v_0$ .
De la equació $v=v_{0}+at$ , $t=\frac{v-v_{0}}{a}$ i substituint en $v_{m}=\frac{1}{2}(v_{0}+v)$ obtenim:

$\Delta_{x}=v_{m}t=$ $\frac{1}{2}(v_{0}+v)t=$ $\frac{1}{2}(v_{0}+v)\frac{v-v_{0}}{a}=$ $\frac{v^{2}-v^{2}_{0}}{2a}$

es a dir:

$v^{2}=v^{2}_{0}+2a\Delta_{x}$

Aquesta ultima equació es molt útil, per exemple, si es tracte de determinar la velocitat d’una pilota que s’ha deixat caure des-de certa altura x quan no ens interessa saber el temps de caiguda.

abr30

Acceleració i acceleració instantània

Posted on 30 abril 2010 by francescserrat

Acceleració i acceleració instantània

L’acceleració es la tasa de canvi de la velocitat instantània. Quan, per exemple, un conductor prem el pedal del accelerador del seu cotxe, espera cambiar la velocitat. L’acceleració mitja en un interval particular de temps $\Delta_{t}=t_{2}-t_{1}$ , es defineix com el cocient entre $\frac{\Delta_{v}}{\Delta_{t}}$ on $\Delta_{v}=v_{2}-v_{1}$ . Es a dir:

$a_{m}=\frac{\Delta_{v}}{\Delta_{t}}$

L’acceleració te les dimensions de una longitud dividida pel temps al quadrat. La unitat del Sistema internacional es $m/s^{2}$ . Podem escriure la equació $a_{m}=\frac{\Delta_{v}}{\Delta_{t}}$ com $\Delta_{v}=a_{m}\Delta_{t}$ . Per exemple, si decidim que una partícula te una acceleració de $5,1m/s^{2}$ , vol dir que, si parteix del repòs, desprès de 1 s es mourà a una velocitat de $5,1m/s$ , desprès de 2 s, ho farà amb una velocitat de $10,2m/s$ i aixi successivament.
L’acceleració instantània es el limit del quocient $\frac{\Delta_{v}}{\Delta_{t}}$ quan $\Delta_{t}$ tendeix a 0. Si representem la velocitat en funció del temps, l’acceleració instantània en el temps t es defineix com la pendent de la línia tangent a la corba d’aquell temps:

$a=\lim_{\Delta_{t}\to 0}\frac{\Delta_{v}}{\Delta_{t}}$

L’acceleració es, per tant, la derivada de la velocitat vectorial respecte el temps $\frac{dv}{dt}$ . Com la velocitat es també la derivada de la posició x respecte a t, l’acceleració es la segona derivada de x respecte t, $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ .
Aixo es pot veure escrivint l’acceleració com $\frac{dv}{dt}$ i substituint v per $\frac{dx}{dt}$ .

$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d\frac{dx}{dt}}{dt}=\frac{d^2 x}{dt^2}$

Si l’acceleració es 0, no hi ha canvi de velocitat amb el temps, es a dir, la velocitat es constant. En aquest cas, la corba de x en funció de t es una línia recta. Si l’acceleració no es nul.la, però es constant, la velocitat varia linealment amb el temps i la corba de x en funció de t es quadràtica amb el temps.

abr29

La velocitat relativa

Posted on 29 abril 2010 by francescserrat

La velocitat relativa

Si estem sentats en un avió que es mou a 800 km/h cap el est, la seva velocitat també serà de 800 km/h cap el est. En cambi, 800 km/h cap al est podria ser la seva velocitat relativa respecte la superfície de la terra o la seva velocitat relativa al aire exterior del aparell ( si l’avió vola dins una corrent a chorro, aquestes dues velocitats poden ser diferents.) Per tant, per especificar la velocitat d’una partícula, s’ha d’especificar també el sistema de referència. En el exemple anterior s’han concretat tres sistemes de referència: la superfície de la terra, l’aire exterior del avió i el propi aparell.
Per medir la posició d’un objecte es fan servir eixos de coordenades fixes a sistemes de referència. La posició d’un viatger, si esta sentat al seu seient, es constant, en relació a un sistema de coordenades horitzontal respecte al avió. En cambi, per un sistema de coordenades horitzontal fixe respecte la superfície de la terra o per un sistema de coordenades horitzontal fixe respecte d’un globus que flota en l’aire exterior al avió, la posició del viatger cambia contínuament. Si es tenen problemes per imaginar un sistema de coordenades fixe en l’aire exterior, imaginat un sistema lligat a un globus que flota a l’aire. L’aire i el globus estan en repòs mutu, per tant formen un sistema de referència únic.
Si una partícula es mou amb velocitat $V_{p}A$ en relació al sistema de coordenades A i aquest es mou amb velocitat $V_{A}B$ en relació a un altre sistema de coordenades B, la velocitat de la partícula relativa a B es:

$v_{p}B=v_{p}A+v_AB$

Per exemple, si una persona nada en un riu paral·lelament a la direcció del corrent, la seva velocitat relativa a la riba $v_po$ es igual a la velocitat vectorial a l’aigua $v_pa$ més la velocitat de l’aigua relativa a la riba $v_ao$ :

$v_{po}=v_{pa}+v_{ao}$

Si la persona nada a 2 m/s contra corrent i la velocitat vectorial de l’aigua relativa a la riba es de 1,2 m/s, la seva velocitat respecte la riba serà $v_{po}=$ $-2m/s+1,2m/s=-o,8m/s$ , on haguem escollit la direcció de la corrent en sentit positiu.
Una gran sorpresa per als científics del segle passat va ser el descobriment de que la equació:

$v_{pB}=$ $v_{pA}+$ $v_{AB}$

era nomes una aproximació. Un estudi de la teoria de la relativitat va mostrar que la expressió exacte per a les velocitats relatives es:

$v_{pB}=$ $\frac{v_{pA}+v_{AB}}{1+v_{pA}v_{AB}/c^2}$

on $c=3x10^{8}m/s$ es la velocitat de la llum al buit. En tots els casos del dia a dia amb objectes macroscòpics, les velocitats son menors que C, aixi les dues equacions coincideixen. Peró en casos
on les velocitats son molt altes, com la d’un electró o la velocitat de galàxies distants que s’allunyen de la terra, la diferencia entre ambdues equacions pot ser molt important i per tant s’utilitza la segona per la seva precisió.

abr29

La velocitat instantània

Posted on 29 abril 2010 by francescserrat

La velocitat instantània

a velocitat instantània pot semblar una paradoxa a primer cop d’ull. Sembla impossible poder definir la velocitat d’una partícula en un sol instant. Si està en un sol punt, com pot estar en moviment? i si no es mou, com pot tenir velocitat? Aquest problema desapareix quan entenem que, per observar el moviment i definirlo, hem d’observar la posició de la partícula en més d’un instant. D’aquesta manera ens es possible definir la velocitat en un instant per un procés de pas al límit. Aixi doncs, podem dir que, la velocitat instantània es el límit de la relació $\frac{\Delta_{x}}{\Delta_{t}}$ quan $\Delta_t$ s’aproxima al valor 0.

$v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}$

Aquest límit, s’anomena derivada de x respecte t

$v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}$

Per determinar una derivada, existeix una regla molt útil. Si $x=Ct^n$ aleshores podem dir que $\frac{dx}{dt}=Cnt^n-1$
En un moviment unidimensional la velocitat instantània pot ser positiva, negativa o nul.la.

abr29

El desplaçament i la velocitat

Posted on 29 abril 2010 by francescserrat

El desplaçament i la velocitat

En física existeixen 3 grans branques de la mecànica, que s’utilitzen per explicar tot el que ens envolta. La mecànica Relativista, que s’utilitza per explicar els moviments i comportaments dels astres, planetes, etc… La mecànica quàntica, que explica el comportament de les partícules a nivell atòmic i subatòmic, i la mecànica Newtoniana, o mecànica clàssica, que s’utilitza per explicar el moviment del mon que ens envolta, a escala humana, per dir-ho d’alguna manera. La mecànica clàssica es la primera que s’aprèn, i el primer concepte a tractar es el desplaçament i la velocitat en una dimensió.

Pensem en un cotxe que esta en la posició X inicial $x_i$ en l’instant T incial $t_i$ i en la posició X final $x_f$ en un instant posterior al T final $t_f$ . La variació del cotxe $x_{f}-x_{i}$ s’anomena desplaçament. En física i matemàtiques s’acostuma a utilitzar el simbol $\Delta$ ( delta ), per indicar variació o increment de una magnitud. Així, la variació de x, es a dir, el desplaçament, s’escriu: $\Delta_{x}=x_{f}-x_{i}$

La velocitat mitja $v_m$ es defineix com el quocient entre $\Delta_x$ i l’interval de temps $\Delta_{t}=t_{f}-t_{i}$ , per tant:

$v_{m}=\frac{\Delta_{x}}{\Delta_{t}}$

Per exemple, un atleta corre desde el punt “a”, situat a 200m de la sortida fins el punt “b”, situat a 300m de la sortida. Quant surt del punt “a” el crono marca “0:01:08″, i quan arriba al punt “b”, el crono marca “0:01:20″. Quina es la velocitat mitja del atleta?

$v_{m}=\frac{\Delta_{x}}{\Delta_{t}}=\frac{300m-200m}{20s-8s}=\frac{100m}{12s}=8,34m/s$

El Desplaçament i la velocitat mitja poden ser tant positives con negatives.

Un resultat positiu indica que el moviment en la direcció x es positiva.
El mòdul de la velocitat mitja, de un objecte, es el quocient entre la distància total recorreguda per el objecte i el temps total desde el principi fins el final.

$modul de la velocitat mitja=\frac{distancia total}{temps total}=\frac{s}{t}$

La distància total i el temps total son sempre positius, per tant, el mòdul de la velocitat mitja serà sempre positiu.

dl.	dt.	dc.	dj.	dv.	ds.	dg.
« abr
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30

El gat de Schrödinger

Reflexions sobre matemàtiques i física

Arxiu de la categoria: Mecànica newtoniana

Moviment amb acceleració constant

Acceleració i acceleració instantània

La velocitat relativa

La velocitat instantània

El desplaçament i la velocitat

Follow “El gat de Schrödinger”

Comparteix:

Like this:

Comparteix:

Like this:

Comparteix:

Like this:

Comparteix:

Like this:

Comparteix:

Like this:

Follow “El gat de Schrödinger”