En matemàtiques, l’eliminació gaussiana, eliminació de Gauss o eliminació de Gauss-Jordan, anomenades així a causa de Carl Friedrich Gauss i Wilhelm Jordan, són algoritmes de l’àlgebra lineal per determinar les solucions d’un sistema d’equacions lineals, trobar matrius i inverses. Un sistema d’equacions es resol pel mètode de Gauss quan s’obtenen les seves solucions mitjançant la reducció del sistema donat a un altre equivalent en el qual cada equació té una incògnita menys que l’anterior. Quan s’aplica aquest procés, la matriu resultant es coneix com: “forma escalonada”.
El mètode va ser presentat pel matemàtic Carl Friedrich Gauss, però es coneixia anteriorment en un important llibre matemàtic xinès anomenat Jiuzhang suanshu o Nou capítols de l’art matemàtic.
El sistema de reducció de Gauss funciona de la següent manera:
1. Anar a la columna no zero extrema esquerra
2. Si la primera línea té un zero en aquesta columna, intercanviar amb un altre que no el tingui
3. Després, obtenir zeros sota d’aquest element davanter, sumant múltiples adequats de la fila superior o de les files inferiors.
4. Cobrir la fila superior i repetir el procés anterior amb la submatriu obtinguda. Repetir amb la resta de files (en aquest punt la matriu es troba en la forma d’esglaó)
5. Començant amb l’últim línea no zero, avançar cap a dalt: per cada fila obtenir un 1 davanter i introduir zeros amunt d’aquesta sumant múltiples corresponents a les fileres corresponents.
Una variant interessant de l’eliminació de Gauss és la que anomenem eliminació de Gauss-Jordan, (a causa del esmentat Gauss i Wilhelm Jordan), aquesta consisteix a anar obtenint els 1 davanters durant els passos un al quatre (anomenats pas directe) així per quan aquests finalitzin ja s’obtindrà la matriu en forma escalonada reduïda.
Per exemple, suposem que és necessari trobar els números x, y, z, que satisfan simultàniament aquest sistema d’equacions:
Això s’anomena un sistema lineal d’equacions. L’objectiu és reduir el sistema a un altre equivalent, que tingui les mateixes solucions. En el nostre exemple, eliminem x de la segona equació sumant 3 / 2 vegades la primera equació a la segona i després sumem la primera equació a la tercera. Ara eliminem i de la primera equació sumant -2 vegades la segona equació a la primera, i sumem -4 vegades la segona equació a la tercera per eliminar y. Finalment eliminem z de la primera equació sumant -2 vegades la tercera equació a la primera, i sumant 1 / 2 vegades la tercera equació a la segona per eliminar z. El resultat és:
Aclarint, podem veure les solucions:
Es a dir, x=2, y=3 i z=-1.
Una manera ràpida i directe de solucionar un sistema d’equacions lineals.
