L’efecte papallona

Val molt la pena escoltar els físics Laurence Eaves i Mark Fromhold com discuteixen alguns conceptes del anomenat  Efecte papallona.

L’equació de Batman

Per a què serveixen les matemàtiques

Font: Francis (th)E mule news

Peter Rowlett ens presenta en Nature set exemples que demostren que el treball teòric dels matemàtics pot conduir a aplicacions pràctiques inesperades. Molts científics i enginyers descobreixen que les eines matemàtiques que necessiten ser desenvolupades fa molts anys, fins i tot fa segles, per matemàtics que no tenien en ment cap aplicació pràctica concreta. La vida de les eines matemàtiques, si no tenen errors, és eterna, una vegada que la comunitat de matemàtics està satisfeta amb una solució a cert problema matemàtic, per aquesta solució no passen els anys. No obstant això, amb la crisi econòmica ha crescut l’interès a buscar aplicacions als desenvolupaments matemàtics en la seva etapa germinal, quan encara són meres idees abstractes. El problema és que per a un matemàtic predir per a què poden servir les seves idees ratlla l’impossible. No es poden forçar les coses i algunes aplicacions de les matemàtiques actuals apareixeran dins de dècades o fins i tot segles. Per il.lustrar, Peter Rowlett ens presenta els següent set exemples en “ The unplanned impact of mathematics , “Nature 475: 166-169, 14 July 2011. La Societat Britànica per a la Història de les Matemàtiques té oberta una convocatòria per tal de recopilar més exemples, si coneixes algun pots enviar-seguint aquest enllaç “ The British Society for the History of Mathematics . “

Mark McCartney & Tony Mann: “Dels cuaterniones a Lara Croft”

La història de com va descobrir els cuaterniones  el matemàtic irlandès William Rowan Hamilton (1805-1865) el 16 octubre 1843 mentre estava caminant sobre el Pont de “Broome” a Dublín és molt coneguda. Hamilton havia estat buscant una manera d’estendre el sistema de nombres complexos a tres dimensions de manera que permetés descriure les rotacions tridimensionals respecte a un eix arbitrari com els nombres complexos descriuen les rotacions bidimensionals. La seva idea feliç ara ens resulta gairebé òbvia, no era possible fer-ho amb ternes de nombres, les rotacions tridimensionals requereixen un sistema de nombres amb quatre components imaginàries. Si els nombres complexos són de la forma  a + ib, on a i b són nombres reals, i i és l’arrel quadrada de -1, llavors els quaternions han de tenir la forma  a + bi + cj + dk , on les unitats imaginàries compleixen  i ² = j ² = k ² = ijk = -1.

Hamilton va passar la resta de la seva vida tractant de convèncer a tota la comunitat de matemàtics que els cuaterniones eren una solució elegant a múltiples problemes en geometria, mecànica i òptica. Després de la seva mort, va passar el testimoni a Peter Guthrie Tait (1831-1901), professor de la Universitat d’Edimburg. William Thomson (Lord Kelvin) va passar més de 38 anys discutint amb Tait sobre la utilitat real dels quaternions. Kelvin preferia el càlcul vectorial, que a finals del segle XIX va eclipsar als quaternions i els matemàtics del segle XX, en general, consideren els quaternions com una bella construcció matemàtica sense cap utilitat pràctica. Així va ser fins que per sorpresa, el 1985, l’informàtic Ken Shoemaker va presentar la idea d’interpolar rotacions usant quaternions en el congrés de gràfics per computador més important del món (l’ACM SIGGRAPH). Interpolar matrius preservant l’ortogonalitat de les matrius de rotació és molt molest i utilitzar els angulos d’Euler ajuda poc. Les tècniques convencionals d’interpolació per nombre reals s’estenen de forma natural als nombres complexos i als quaternions. Interpolacions suaus i ràpides de calcular que des de llavors s’utilitzen en tots els jocs per ordinador que presenten gràfics tridimensionals. En l’actualitat, els cuaterniones són imprescindibles en robòtica i en visió per ordinador, a més de gràfics per ordinador. Al final del segle XX, la guerra entre Kelvin i Tait va ser guanyada per aquest últim. Hamilton va veure complert el seu somni en la indústria dels videojocs, 150 després del seu descobriment, una indústria que mou més diners al món que la indústria del cinema (més de 100 mil milions de dòlars el 2010).

Graham Hoare: “De la geometria a la gran explosió”

El 1907, Albert Einstein va formular el principi d’equivalència, un pas clau per al desenvolupament de la teoria general de la relativitat. La seva idea és simple en extrem, que els efectes d’una acceleració són indistingibles dels efectes d’un camp gravitatori uniforme, o dit d’una altra manera, que la massa com “càrrega” gravitatòria i la massa inercial són equivalents. Aquesta idea va portar a Einstein a concebre la gravetat com una curvatura de l’espaitemps. El 1915 va publicar les equacions de la seva teoria general que indiquen com la matèria corba l’espaitemps circumdant. Les matemàtiques que va utilitzar tenen el seu origen a mitjans del segle anterior. Bernhard Riemann va introduir els fonaments de la geometria diferencial en 1854, en la defensa de la seva tesi d’habilitació (una mena de tesi doctoral que era requisit per impartir classes a la universitat). Va introduir la geometria diferencial d’espais (hipersuperfícies) de n dimensions, anomenades varietats, i les nocions de mètrica i curvatura. En els 1870, Bruno Christoffel estendre les idees de Riemann i va introduir les connexions afins i el concepte de transport paral.lel. El càlcul diferencial en varietats (o càlcul tensorial) va arribar altes cotes d’abstracció amb els treballs de Gregorio Ricci-Curbastro i la seva estudiant Tullio Levi-Civita (entre 1880 i els inicis del s. XX). Però aquestes idees tan abstractes no tenien cap aplicació pràctica fins que Albert Einstein el 1912, amb l’ajuda del seu amic matemàtic Marcel Grossman va decidir utilitzar aquest càlcul tensorial per articular la seva profunda visió física sobre l’espaitemps. Gràcies a les varietats de Riemann en quatre dimensions (tres per l’espai i una per el temps), Einstein va revolucionar les nostres idees sobre la gravetat i sobre l’evolució de l’univers. Les equacions d’Einstein no tenien cap solució estàtica, de manera que Einstein va introduir el 1917 una terme addicional, la constant cosmològica a fi de compensar l’expansió natural de l’univers. Després dels treballs teòrics d’altres físics, com Alexander Friedmann el 1922, i els resultats experimentals d’Edwin Hubble, Einstein va decidir el 1931 eliminar la constant cosmològica i qualificar la seva inclusió com “el major error de la seva vida.” Avui en dia, després de la gran sorpresa de 1998, el concepte d’energia fosca ha reintroduït la constant cosmològica.

Edmund Harris: “De les taronges als mòdems”

El 1998, de sobte, les matemàtiques van ser notícia en tots els mitjans. Thomas Hales (Universitat de Pittsburgh, Pennsylvania) havia demostrat la conjectura de Kepler, que afirma que la millor forma d’apilar taronges en una caixa és la utilitzada en totes les fruiteries (l’empaquetament d’esferes més eficient possible).Un problema que havia estat obert des de 1611, quan ho va proposar Johannes Kepler. En alguns mitjans de premsa i TV es va arribar a dir “crec que és una pèrdua de temps i diners dels contribuents.” Avui en dia, les matemàtiques de l’empaquetament d’esferes s’utilitzen en enginyeria de comunicacions i teoria de la informació i de la codificació per planificar canals de comunicació i per desenvolupar codis correctors d’errors.El problema de Kepler va ser molt més difícil de demostrar del que Kepler mai va poder imaginar. De fet, el problema més senzill sobre la millor forma d’empaquetar cercles plans va ser demostrat en 1940 per László Fejes Tóth.

Un altre problema senzill la solució va costar molts anys va ser el problema de les esferes que es besen , plantejat al segle XVII per Isaac Newton i David Gregory: Donada una esfera, quantes esferes iguals que aquesta poden col.locar amb la condició que toquin a la inicial? En dues dimensions és fàcil demostrar que la resposta és 6. Newton pensava que 12 era el nombre màxim en 3 dimensions. Ho és, però la demostració va haver d’esperar al treball de Kurt Schütte i Bartel van der Waerden el 1953. Oleg musinosa va demostrar el 2003 que el nombre de petons en 4 dimensions és 24. En cinc dimensions només se sap que es troba entre 40 i 44. Sabem la resposta en vuit dimensions, que és 240, com va demostrar Andrew Odlyzko el 1979. Encara més, en 24 dimensions la resposta és 196.560. Aquestes demostracions són més senzilles que la del resultat en tres dimensions i utilitzen empaquetament d’esferes molt més complicats i increïblement densos, la xarxa E8 en 8 dimensions i la xarxa de Leech en 24 dimensions.

Tot això és molt bonic, però serveix per a alguna cosa? A la dècada de 1960, un enginyer anomenat Gordon Lang va dissenyar els sistemes de comunicació per mòdem utilitzant aquests empaquetaments d’esferes multidimensionals. El problema de la comunicació analògica en una línia telefònica és el soroll. En una conversa entre dues persones el llenguatge natural és tan redundant que el soroll importa poc, però per enviar dades cal introduir certes redundàncies i utilitzar tècniques correctores d’error, el que redueix l’ample de banda del canal (la quantitat d’informació que es pot transmetre per segon). Lang va utilitzar els empaquetaments d’esferes per lluitar amb el soroll i augmentar al màxim l’ample de banda. Va utilitzar una codificació basada en l’empaquetat E8 (més tard també es va utilitzar el de Leech). A la dècada dels 1970, el treball de Lang va ser clau per al desenvolupament primerenc de la internet. Donald Coxeter, matemàtic que va ajudar a Lang en el seu treball, va dir que estava “horroritzat que els seus belles teories haguessin estat tacades d’aquesta manera per les aplicacions.”

Joan Parrondo i Noel-Ann Bradshaw: “D’una paradoxa a les pandèmies”

El 1992, dos físics van proposar un dispositiu simple per convertir les fluctuacions tèrmiques a nivell molecular en un moviment dirigit: un motor brownià ( Brownie ratchet ) basat en alternar l’encesa i l’apagat de cert camp. El 1996, l’essència matemàtica d’aquest fenomen va ser capturada en el llenguatge de la teoria de jocs per la paradoxa de Parrondo. Un jugador alterna dos jocs, en ambdós jocs per separat l’esperança a llarg termini implica perdre, però, alternar ambdós jocs permet aconseguir a llarg termini una victòria. En general, s’utilitza el terme “efecte de Parrondo” per descriure el resultat dues proves que combinades aconsegueixen un resultat diferent al de les proves individuals. L ‘”efecte Parrondo” té moltes aplicacions, com en el control de sistemes caòtics ja que permet que la combinació de dos sistemes caòtics condueixi a un comportament no caòtic. També pot ser utilitzat per modelar en dinàmica de poblacions l’aparició de brots de malalties víriques o en economia per predir els riscos de certes inversions en borsa.

Peter Rowlett: “Dels jugadors a les asseguradores”

Al segle XVI, Girolamo Cardano va ser un matemàtic i un jugador compulsiu. Per desgràcia per a ell, va perdre en el joc la major part dels diners que havia heretat. Per fortuna per a la ciència va escriure el que es considera el primer treball en teoria de la probabilitat moderna, “Liber de ludo alea , “que va acabar publicat en 1663. Un segle després, un altre jugador, Chevalier de Mere, tenia un truc que semblava molt raonable per guanyar als daus a llarg termini, però va perdre tots els seus diners. Consultar al seu amic Blaise Pascal buscant una explicació.Pascal va escriure a Pierre de Fermat en 1654. La correspondència entre ells va establir les bases de la teoria de la probabilitat. Christiaan Huygens va estudiar aquests resultats i va escriure la primera obra publicada sobre probabilitat, “Ratiociniis De Ludo Alea” (publicada en 1657).

Al segle XVII, Jakob Bernoulli va reconèixer que la teoria de la probabilitat podria aplicar molt més enllà dels jocs d’atzar. Va escriure “ Ars Conjectandi “ (publicat després de la seva mort en 1713), que va consolidar i va ampliar el treball en probabilitat de Cardano, Fermat, Huygens i Pascal. Bernoulli va provar la llei de grans nombres, que diu que com més gran sigui la mostra, més s’assemblarà el resultat mostral de la població original. Les companyies d’assegurances han de limitar el nombre de pòlisses que venen. Cada pòlissa venuda implica un risc addicional i l’efecte acumulat podria arruïnar l’empresa. A partir del segle XVIII, les empreses d’assegurances van començar a utilitzar la teoria de probabilitats per a les seves polítiques de vendes i per decidir els preus de les assegurances per tal de garantir beneficis a llarg termini. La llei de Bernoulli dels grans nombres és clau per seleccionar la mida de les mostres que permeten realitzar prediccions fiables.

Julia Collins: “Des d’un pont fins l’ADN”

Leonhard Euler va inventar una nova branca de les matemàtiques quan va demostrar el 1735 que no es podien travessar els set ponts de Königsberg en un sol viatge sense repetir cap pont. El 1847, Johann Benedict Listing va encunyar el terme “topologia” per descriure aquest nou camp. Durant els següents 150 anys els matemàtics van treballar en topologia perquè suposava un gran desafiament intel.lectual, sense cap expectativa que hagi de ser útil. Després de tot, en la vida real, la forma és molt important (ningú confon una tassa de cafè amb un dònut). A qui li preocupen els forats de 5 dimensions en un espai de 11 dimensions? Fins i tot branques de la topologia en aparença molt pràctiques, com la teoria de nusos, que va tenir el seu origen en els primers intents per comprendre l’estructura dels àtoms, es va pensar que eren inútils durant la major part dels XIX i XX.

Però en la dècada de 1990, les aplicacions pràctiques de la topologia van començar a aparèixer. Lentament al principi, però guanyant impuls fins que ara sembla que hi ha poques àrees de la ciència en què la topologia no s’utilitzi. Els biòlegs utilitzen la teoria de nusos per comprendre l’estructura de l’ADN. Els enginyers en robòtica utilitzen la teoria per planificar les trajectòria de els robots mòbils. Les bandes de Möbius s’utilitzen per obtenir cintes transportadores més eficients. Els metges utilitzen la teoria de l’homologia per fer escanejos cerebrals i els cosmòlegs les fan servir per comprendre com es formen les galàxies. Les empreses de telefonia mòbil utilitzen la topologia per identificar els llocs on no hi ha cobertura de la xarxa. I fins i tot en computació quàntica s’estan utilitzant fils trenats per construir ordinadors quàntics robustos. La topologia permet usar els mateixos teoremes per resoldre problemes molt diversos, des de l’ADN als sistemes de GPS (Sistemes de Posicionament Global). Hi ha alguna aplicació pràctica on no s’utilitzi la topologia?

Chris Linton: “Des de les cordes a l’energia nuclear”

Les sèries de funcions sinus i cosinus van ser utilitzades per Leonard Euler i altres en el segle XVIII per estudiar la dinàmica de les vibracions de cordes i per estudiar els moviments dels cossos en mecànica celeste. Joseph Fourier, a principis del segle XIX, va reconèixer la gran utilitat pràctica d’aquestes sèries per estudiar la conducció de la calor i va començar a desenvolupar una teoria general de les mateixes. A partir de llavors, les sèries de Fourier s’utilitzen per arreu, des de l’acústica o l’òptica, fins als circuits elèctrics. En l’actualitat, els mètodes de Fourier són a la base de gran part de la ciència i de l’enginyeria modernes, especialment de les tècniques computacionals.

No obstant això, les matemàtiques de principis del segle XIX eren inadequades per al desenvolupament rigorós de les idees de Fourier i van aparèixer gran nombre de problemes de caràcter tècnic que van desafiar a moltes de les grans ments de l’època. Va costar molt desenvolupar noves tècniques matemàtiques per poder resoldre aquestes dificultats. A la dècada de 1830, Gustav Lejeune Dirichlet va obtenir la primera definició clara i útil del concepte de funció. Bernhard Riemann en la dècada de 1850 i Henri Lebesgue en la dècada de 1900 van obtenir nocions rigoroses de la integració de funcions. La convergència de sèries infinites resultar molt relliscosa al principi, però es va aconseguir dominar gràcies a Augustin-Louis Cauchy ja Karl Weierstrass, que van treballar en la dècades de 1820 i 1850, respectivament. A la dècada de 1870, els primers passos de Georg Cantor cap a una teoria abstracta dels conjunts es van iniciar amb l’anàlisi de les diferències entre funcions que no són iguals però les sèries de Fourier són idèntiques.

En la primera dècada del segle XX, el concepte d’espai de Hilbert va ser clau per entendre les propietats de les sèries de Fourier. El matemàtic alemany David Hilbert i els seus companys van definir aquests espais de forma axiomàtica, una cosa que semblava molt allunyat de les aplicacions pràctiques. No obstant això, en la dècada de 1920, Hermann Weyl, Paul Dirac i John von Neumann reconèixer que aquest concepte era la pedra angular de la mecànica quàntica, ja que els estats possibles d’un sistema quàntic són elements de certa classe d’espais de Hilbert. La mecànica quàntica és la teoria científica més exitosa de tots els temps. Sense ella, gran part de la nostra tecnologia moderna (el làser, els ordinadors, els televisors de pantalla plana, l’energia nuclear, etc.) No existiria. Qui podia imaginar que problemes matemàtics abstractes relacionats amb les propietats matemàtiques de les sèries de Fourier acabarien revolucionant la ciència i l’enginyeria del segle XX, i acabarien conduint a l’energia nuclear.

 

 

 

 

 

 

 

La raó de ser matemàtics

Saben, tots ens vam fer matemàtics per la mateixa raó: som ganduls
Max Rosenlicht ( matemàtic )

Font: Tito Eliatron Dixit

La física quàntica de Harry Potter

Conferencia de Krister Shalm, postdoc a l’Institut de Computació Quàntica de la Universitat de Waterloo, Canadà. Val molt la pena dedicar una hora a visionar-ho.

Es publica la primera anàlisi epidemiològica de les lesions cerebrals en els còmics d’Astèrix

Per què una revista de Springer anomenada Acta Neurochirurgica, que té un índexd’impacte de 1,329 en el JCR 2010, ha publicat un article que analitza l’epidemiologiai els factors de risc específics de les lesions cerebrals traumàtiques en els 34 còmicsd’Astèrix. Sembla una broma de l’editor. Potser vulgui aparèixer en premsa o guanyar un Ig Nobel per tal d’incrementar el seu índex d’impacte. No sé a tu, però a mi m’hacridat molt l’atenció aquesta “bestiesa” escrita per neurocirurgians alemanys del Departament de Neurocirurgia de la Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf.

Aquests neurocirurgians alemanys han bussejat en els 34 llibres de còmics d’Astèrixbuscant cada personatge que pateix un traumatisme cranial i han realitzat un examenneurològic detallat d’aquesta lesió seguint l’escala de coma de Glasgow (GCS), que avalua el nivell de consciència dels pacients que pateixen un traumatisme. Una lesiólleu té un valor GCS superior a 12, una moderada un valor entre 9 i 12, i una greu un valor inferior a 9. Han trobat 704 casos de lesions al cap, la gran majoria de lesvíctimes va patir repetides lesions traumàtiques en un o més llibres d’historietes.Gairebé tots els personatges ferits eren homes (99,1%; 698 homes i 6 dones) i adults.La lesió cerebral traumàtica va ser causada per força bruta en 696 casos (98,8%).Les lesions van ser greus (GCS entre 3 i 8) en 390 casos (55,4%), mentre que va ser moderada (GCS entre 9 i 12) en 89 casos (12,6%). La pèrdua de consciència va sermolt lleu (GCS entre 13 i 15) en 225 casos (31,9%).

Entre els 704 casos de lesió cerebral, el grup més nombrós estava compost perromans (n = 450, 63,9%), la majoria eren membres de l’exèrcit imperial romà (n =414), tant soldats (n = 365; 88, 2%) com suboficials (n = 49; 11,8%). Entre elsciutadans gals es van identificar 120 casos de traumatisme cranial i entre els pirates21 casos. Per a la resta de les lesions al cap les víctimes tenien diversos orígenssocioculturals (belgues, britànics, egipcis, indis, nativoamericanos, normands, víkingso suïssos). A més, 4 personatges extraterrestres també van patir lesió cerebraltraumàtica. El casc va ser utilitzat com a protecció en 497 dels 704 casos (un 70,5%),però la gran majoria dels cascos es va perdre durant l’esdeveniment traumàtic(436/497 casos, 87,7%) i per tant va ser ineficaç . La majoria dels personatges que va provocar els traumatismes (n = 588, 83,5%) havien pres ”la poció màgica.” Aquesta substància conté vesc i es creu que dóna força sobrehumana.

En resum, un curiós estudi que mereix al seu torn un altre estudi. Per què han acceptat els editors d’aquesta revista un article d’aquest calat?

Font: Francis (th)E mule Science.